調和級数に近いタイプの交代級数の和の扱いはなかなか難儀だ。収束がトロイのだ。
1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6-1/7+1/8.......
それでも調和数列とは違い、収束値が存在する。
和の極限は「Log２」である。ライプニッツの級数だ。
対数関数をx=0の周りで展開してできる式にｘ＝１とすれば、導出できる。
さて、次式を計算してみた。
1 - 1/Sqrt[2] + 1/Sqrt[3]- 1/Sqrt[4] + 1/Sqrt[5] - 1/Sqrt[6] + 1/Sqrt[7]．．．．
では、その値は何になるか。
項別に数値を高精度で計算して、加算する。その方針で数値計算をするとなると倍精度でやっても誤差がたまる一方であろう。まして何十万項まで加算しても収束しないのだ。
こんな場合には、Euler-Maclaurin公式を適用するのが早道だ。
MathematicaはNSumという関数がある。
項数も∞までの加算ができる！
これを拝借しよう。
こうして算出した値はこうなる。
0.604898643421630370
面白いことを確かめよう。
何か超越数πやｅと関係性がないかを確かめるのだ！
WolframAlfaをつかうとこの値が下記のモノに近いことがわかる。
太字の数字は入力した数値と一致していることを示す。WRIの計算機もなかなか難儀な仕事しとるわ。
残念！
どうやら数学者好みの単純な表現にはならぬらしい。
