４次及び5次方程式の判別式 - サイエンスとサピエンス

　ｎ次方程式の判別式とか題して別系統ブログにｎ＝４までの判別式をなんとか載せたが、ここは補う意味で５次方程式と４次方程式の判別式を書きます。
方程式と係数はこうなる。

　a[5] x^5 + a[4] x^4 +a[3] x^3 + a[2] x^2 + a[1] x + a[0]

終結式＝判別式の行列

これより行列式は以下のようになる。

- - - - -

256 a[1]^5 a[5]^3 - a[1]^4 (27 a[4]^4 - 144 a[3] a[4]^2 a[5] + 128 a[3]^2 a[5]^2 + 192 a[2] a[4] a[5]^2) + 2 a[1]^3 (-2 a[3]^3 a[4]^2 + 8 a[3]^4 a[5] - 40 a[2] a[3]^2 a[4] a[5] - a[5] (3 a[2]^2 a[4]^2 + 18 a[0] a[4]^3 + 800 a[0] a[2] a[5]^2) + a[3] (9 a[2] a[4]^3 + 72 a[2]^2 a[5]^2 + 80 a[0] a[4] a[5]^2)) + a[1]^2 (-27 a[2]^4 a[5]^2 + a[2]^3 (-4 a[4]^3 + 18 a[3] a[4] a[5]) + 2 a[0] a[2] (72 a[4]^4 - 373 a[3] a[4]^2 a[5] + 280 a[3]^2 a[5]^2) + a[2]^2 (a[3]^2 a[4]^2 - 4 a[3]^3 a[5] + 1020 a[0] a[4] a[5]^2) + 2 a[0] (-3 a[3]^2 a[4]^3 + 12 a[3]^3 a[4] a[5] - 25 a[0] a[4]^2 a[5]^2 + 1000 a[0] a[3] a[5]^3)) - 2 a[0] a[1] (3 a[2]^3 a[5] (-4 a[4]^2 + 105 a[3] a[5]) + a[2] (-9 a[3]^3 a[4]^2 + 36 a[3]^4 a[5] - 80 a[0] a[4]^3 a[5] + 1025 a[0] a[3] a[4] a[5]^2) + a[2]^2 (40 a[3] a[4]^3 - 178 a[3]^2 a[4] a[5] -1125 a[0] a[5]^3) + 2 a[0] (48 a[3] a[4]^4 - 255 a[3]^2 a[4]^2 a[5] + 225 a[3]^3 a[5]^2 + 625 a[0] a[4] a[5]^3)) + a[0] (108 a[2]^5 a[5]^2 + 8 a[2]^4 (2 a[4]^3 - 9 a[3] a[4] a[5]) + a[0] a[2]^2 (-128 a[4]^4 + 560 a[3] a[4]^2 a[5] + 825 a[3]^2 a[5]^2) + 4 a[2]^3 (-a[3]^2 a[4]^2 + 4 a[3]^3 a[5] - 225 a[0] a[4] a[5]^2) + 2 a[0] a[2] (72 a[3]^2 a[4]^3 - 315 a[3]^3 a[4] a[5] + 1000 a[0] a[4]^2 a[5]^2 - 1875 a[0] a[3] a[5]^3) + a[0] (-27 a[3]^4 a[4]^2 + 256 a[0] a[4]^5 + 108 a[3]^5 a[5]-1600 a[0] a[3] a[4]^3 a[5] + 2250 a[0] a[3]^2 a[4] a[5]^2 + 3125 a[0]^2 a[5]^4))

- - - - -

これでは何にも見通せないので、５次方程式での変形を呼び出す。ジェラードの変形ですな。ある種の４次方程式を介して、一般的にここまで簡略化できるのです。
　　　　　　　　　 x^5- x- c==0
　上記のゴチャゴチャを上の判別式にすれば、かなり分かりやすくなろう。すると
　　　　　　　　　　-256 + 3125 c^4
かなり簡単になりすぎてしまったのである。本当かい？

　４次方程式については、x^4+ ax^2+ bx + c==0にするチルンハウス変換がある。これによる判別式を結果だけ出しておく。

　　-27 b^4 + b^2 (-4 a^3 + 144 a c) + c (16 a^4 - 128 a^2 c + 256 c^2)

代数学のよくできたポピュラー向け入門とその歴史のヨウを得た解説