3円に接する円の方程式

　デカルトは解析幾何学の創造者である。我らが中高生の時代にならう座標系と方程式の組み合わせで各種問題を解く方法だ。エリザベート王女はデカルトの弟子だった。
どうも哲学者はこの弟子が気に入らなかったのか、古典幾何学で解ける問題を自分の解析幾何学で解くように指導したという。それは円に接する問題の一種であった。
　
　これから提示して中途半端に報告する円の問題も類似である。３円が与えられていて、それらのいずれにも接する円を解析幾何学的に求めよ！　という課題である。実のところ、この問題は古代ギリシア人により解法が与えられている。その名も「アポロニオスの問題」という。

　三円の座標と半径を下記のように置く。求める円の座標と半径を(x,y) rとする。

接するという条件から３つの方程式が立つ。式が３つに未知数３つだし、二次方程式だから原理的には解ける（はず）。

ところが、一般解はとんでもないことになってしまう。計算力はコンピュータに任せて
解を求める。
　ｘの解のひとつの一部分転写だ。
1/(2 x2) (1 - r2^2 + x2^2 + y2^2 + (-4 x1^2 + 4 r2 x1^2 + 4 r2^2 x1^2 - 4 r2^3 x1^2 + 8 x1 x2 - 4 r1 x1 x2 - 4 r1^2 x1 x2 - 4 r2 x1 x2 +4 r1^2 r2 x1 x2 - 4 r2^2 x1 x2 + 4 r1 r2^2 x1 x2 + 4 x1^3 x2 - 4 r2 x1^3 x2 - 4 x2^2 + 4 r1 x2^2 + 4 r1^2 x2^2 - 4 r1^3 x2^2 -8 x1^2 x2^2 + 4 r1 x1^2 x2^2 + 4 r2 x1^2 x2^2 + 4 x1 x2^3 - 4 r1 x1 x2^3 - 4 y1^2 + 4 r2 y1^2 + 4 r2^2 y1^2 - 4 r2^3 y1^2 +4 x1 x2 y1^2 - 4 r2 x1 x2 y1^2 + 4 r1 x2^2 y1^2 + 4 r2 x2^2 y1^2 + 8 y1 y2 - 4 r1 y1 y2 - 4 r1^2 y1 y2 - 4 r2 y1 y2 + 4 r1^2 r2 y1 y2 - 4 r2^2 y1 y2 + 4 r1 r2^2 y1 y2 + 4 x1^2 y1 y2 - 4 r2 x1^2 y1 y2 - 16 x1 x2 y1 y2 + 4 x2^2 y1 y2 - 4 r1 x2^2 y1 y2 + 4 y1^3 y2 - 4 r2 y1^3 y2 - 4 y2^2 + 4 r1 y2^2 + 4 r1^2 y2^2 - 4 r1^3 y2^2 + 4 r1 x1^2 y2^2 + 4 r2 x1^2 y2^2 + 4 x1 x2 y2^2 - 4 r1 x1 x2 y2^2 - 8 y1^2 y2^2 + 4 r1 y1^2 y2^2 + 4 r2 y1^2 y2^2 + 4 y1 y2^3 - 4 r1 y1 y2^3 - \[Sqrt]((4 x1^2 - 4 r2 x1^2 - 4 r2^2 x1^2 + 4 r2^3 x1^2 - 8 x1 x2 + 4 r1 x1 x2 + 4 r1^2 x1 x2 + 4 r2 x1 x2 - 4 r1^2 r2 x1 x2 + 4 r2^2 x1 x2 -4 r1 r2^2 x1 x2 - 4 x1^3 x2 + 4 r2 x1^3 x2 + 4 x2^2 - 4 r1 x2^2 - 4 r1^2 x2^2 + 4 r1^3 x2^2 + 8 x1^2 x2^2 - 4 r1 x1^2 x2^2 - 4 r2 x1^2 x2^2 - 4 x1 x2^3 + 4 r1 x1 x2^3 + 4 y1^2 - 4 r2 y1^2 - 4 r2^2 y1^2 + 4 r2^3 y1^2 - 4 x1 x2 y1^2 + 4 r2 x1 x2 y1^2 - 4 r1 x2^2 y1^2 - 4 r2 x2^2 y1^2 - 8 y1 y2 + 4 r1 y1 y2 + 4 r1^2 y1 y2 + 4 r2 y1 y2 - 4 r1^2 r2 y1 y2 + 4 r2^2 y1 y2 - 4 r1 r2^2 y1 y2 - 4 x1^2 y1 y2 + 4 r2 x1^2 y1 y2 + 16 x1 x2 y1 y2 - 4 x2^2 y1 y2 + 4 r1 x2^2 y1 y2 - 4 y1^3 y2 + 4 r2 y1^3 y2 + 4 y2^2 - 4 r1 y2^2 - 4 r1^2 y2^2 + 4 r1^3 y2^2 - 4 r1 x1^2 y2^2 -
4 r2 x1^2 y2^2 - 4 x1 x2 y2^2 + 4 r1 x1 x2 y2^2 + 8 y1^2 y2^2 - 4 r1 y1^2 y2^2 - 4 r2 y1^2 y2^2 - 4 y1 y2^3 + 4 r1 y1 y2^3)^2 - 4 (4 x1^2 - 8 r2 x1^2 + 4 r2^2 x1^2 - 8 x1 x2 + 8 r1 x1 x2 + 8 r2 x1 x2 - 8 r1 r2 x1 x2 + 4 x2^2 - 8 r1 x2^2 + 4 r1^2 x2^2 + 4 y1^2 - 8 r2 y1^2 + 4 r2^2 y1^2 - 4 x2^2 y1^2 - 8 y1 y2 + 8 r1 y1 y2 + 8 r2 y1 y2 - 8 r1 r2 y1 y2 + 8 x1 x2 y1 y2 + 4 y2^2 - 8 r1 y2^2 + 4 r1^2 y2^2 - 4 x1^2 y2^2) (x1^2 - 2 r2^2 x1^2 + r2^4 x1^2 - 2 x1 x2 + 2 r1^2 x1 x2 + 2 r2^2 x1 x2 - 2 r1^2 r2^2 x1 x2 - 2 x1^3 x2 + 2 r2^2 x1^3 x2 + x2^2 - 2 r1^2 x2^2 + r1^4 x2^2 + 4 x1^2 x2^2 - 2 r1^2 x1^2 x2^2 - 2 r2^2 x1^2 x2^2 + x1^4 x2^2 - 2 x1 x2^3 + 2 r1^2 x1 x2^3 - 2 x1^3 x2^3 + x1^2 x2^4 + y1^2 - 2 r2^2 y1^2 + r2^4 y1^2 - 2 x1 x2 y1^2 + 2 r2^2 x1 x2 y1^2 - 2 r1^2 x2^2 y1^2 - 2 r2^2 x2^2 y1^2 + 2 x1^2 x2^2 y1^2 - 2 x1 x2^3 y1^2 + x2^4 y1^2 + x2^2 y1^4 - 2 y1 y2 + 2 r1^2 y1 y2 + 2 r2^2 y1 y2 - 2 r1^2 r2^2 y1 y2 - 2 x1^2 y1 y2 + 2 r2^2 x1^2 y1 y2 + 8 x1 x2 y1 y2 - 2 x2^2 y1 y2 + 2 r1^2 x2^2 y1 y2 - 2 x1^2 x2^2 y1 y2 - 2 y1^3 y2 + 2 r2^2 y1^3 y2 - 2 x2^2 y1^3 y2 + y2^2 - 2 r1^2 y2^2 + r1^4 y2^2 - 2 r1^2 x1^2 y2^2 - 2 r2^2 x1^2 y2^2 + x1^4 y2^2 - 2 x1 x2 y2^2 + 2 r1^2 x1 x2 y2^2 - 2 x1^3 x2 y2^2 + 2 x1^2 x2^2 y2^2 + 4 y1^2 y2^2 - 2 r1^2 y1^2 y2^2 - 2 r2^2 y1^2 y2^2 + 2 x1^2 y1^2 y2^2 - 2 x1 x2 y1^2 y2^2 + 2 x2^2 y1^2 y2^2 + y1^4 y2^2 - 2 y1 y2^3 + 2 r1^2 y1 y2^3 - 2 x1^2 y1 y2^3 - 2 y1^3 y2^3 + x1^2 y2^4 + y1^2 y2^4)))/(4 x1^2 - 8 r2 x1^2 +
4 r2^2 x1^2 - 8 x1 x2 + 8 r1 x1 x2 + 8 r2 x1 x2 - 8 r1 r2 x1 x2 + 4 x2^2 - 8 r1 x2^2 + 4 r1^2 x2^2 + 4 y1^2 - 8 r2 y1^2 + 4 r2^2 y1^2 - 4 x2^2 y1^2 - 8 y1 y2 + 8 r1 y1 y2 + 8 r2 y1 y2 - 8 r1 r2 y1 y2 + 8 x1 x2 y1 y2 + 4 y2^2 - 8 r1 y2^2 + 4 r1^2 y2^2 - 4 x1^2 y2^2) - (r2 (-4 x1^2 + 4 r2 x1^2 + 4 r2^2 x1^2 - 4 r2^3 x1^2 + 8 x1 x2 - 4 r1 x1 x2 - 4 r1^2 x1 x2 - 4 r2 x1 x2 + 4 r1^2 r2 x1 x2 - 4 r2^2 x1 x2 + 4 r1 r2^2 x1 x2 + 4 x1^3 x2 - 4 r2 x1^3 x2 - 4 x2^2 + 4 r1 x2^2 + 4 r1^2 x2^2 - 4 r1^3 x2^2 - 8 x1^2 x2^2 + 4 r1 x1^2 x2^2 + 4 r2 x1^2 x2^2 + 4 x1 x2^3 - 4 r1 x1 x2^3 - 4 y1^2 + 4 r2 y1^2 + 4 r2^2 y1^2 - 4 r2^3 y1^2 + 4 x1 x2 y1^2 - 4 r2 x1 x2 y1^2 + 4 r1 x2^2 y1^2 + 4 r2 x2^2 y1^2 + 8 y1 y2 - 4 r1 y1 y2 - 4 r1^2 y1 y2 - r2 y1 y2 + 4 r1^2 r2 y1 y2 - 4 r2^2 y1 y2 + 4 r1 r2^2 y1 y2 + 4 x1^2 y1 y2 - 4 r2 x1^2 y1 y2 - 16 x1 x2 y1 y2 + 4 x2^2 y1 y2 - 4 r1 x2^2 y1 y2 + 4 y1^3 y2 - 4 r2 y1^3 y2 - 4 y2^2 + 4 r1 y2^2 + 4 r1^2 y2^2 - 4 r1^3 y2^2 + 4 r1 x1^2 y2^2 + 4 r2 x1^2 y2^2 + 4 x1 x2 y2^2 - 4 r1 x1 x2 y2^2 - 8 y1^2 y2^2 + 4 r1 y1^2 y2^2 + 4 r2 y1^2 y2^2 + 4 y1 y2^3 - 4 r1 y1 y2^3 - \[Sqrt]((4 x1^2 - 4 r2 x1^2 - 4 r2^2 x1^2 +4 r2^3 x1^2 - 8 x1 x2 + 4 r1 x1 x2 + 4 r1^2 x1 x2 + 4 r2 x1 x2 - 4 r1^2 r2 x1 x2 + 4 r2^2 x1 x2 - 4 r1 r2^2 x1 x2 - 4 x1^3 x2 + 4 r2 x1^3 x2 + 4 x2^2 - 4 r1 x2^2 - 4 r1^2 x2^2 + 4 r1^3 x2^2 + 8 x1^2 x2^2 - 4 r1 x1^2 x2^2 - 4 r2 x1^2 x2^2 - 4 x1 x2^3 + 4 r1 x1 x2^3 + 4 y1^2 - 4 r2 y1^2 - 4 r2^2 y1^2 + 4 r2^3 y1^2 - 4 x1 x2 y1^2 + 4 r2 x1 x2 y1^2 - 4 r1 x2^2 y1^2 - 4 r2 x2^2 y1^2 - 8 y1 y2 + 4 r1 y1 y2 + 4 r1^2 y1 y2 + 4 r2 y1 y2 - 4 r1^2 r2 y1 y2 + 4 r2^2 y1 y2 - 4 r1 r2^2 y1 y2 - 4 x1^2 y1 y2 + 4 r2 x1^2 y1 y2 + 16 x1 x2 y1 y2 - 4 x2^2 y1 y2 +
4 r1 x2^2 y1 y2 - 4 y1^3 y2 + 4 r2 y1^3 y2 + 4 y2^2 - 4 r1 y2^2 - 4 r1^2 y2^2 + 4 r1^3 y2^2 - 4 r1 x1^2 y2^2 - 4 r2 x1^2 y2^2 - 4 x1 x2 y2^2 + 4 r1 x1 x2 y2^2 + 8 y1^2 y2^2 - 4 r1 y1^2 y2^2 - 4 r2 y1^2 y2^2 - 4 y1 y2^3 + 4 r1 y1 y2^3)^2 - 4 (4 x1^2 - 8 r2 x1^2 + 4 r2^2 x1^2 - 8 x1 x2 + 8 r1 x1 x2 + 8 r2 x1 x2 - 8 r1 r2 x1 x2 + 4 x2^2 - 8 r1 x2^2 + 4 r1^2 x2^2 + 4 y1^2 - 8 r2 y1^2 + 4 r2^2 y1^2 - 4 x2^2 y1^2 - 8 y1 y2 + 8 r1 y1 y2 + 8 r2 y1 y2 - 8 r1 r2 y1 y2 + 8 x1 x2 y1 y2 + 4 y2^2 - 8 r1 y2^2 + 4 r1^2 y2^2 - 4 x1^2 y2^2) (x1^2 - 2 r2^2 x1^2 + r2^4 x1^2 - 2 x1 x2 + 2 r1^2 x1 x2 + 2 r2^2 x1 x2 - 2 r1^2 r2^2 x1 x2 - 2 x1^3 x2 + 2 r2^2 x1^3 x2 + x2^2 - 2 r1^2 x2^2 + r1^4 x2^2 + 4 x1^2 x2^2 - 2 r1^2 x1^2 x2^2 - 2 r2^2 x1^2 x2^2 + x1^4 x2^2 - 2 x1 x2^3 + 2 r1^2 x1 x2^3 - 2 x1^3 x2^3 + x1^2 x2^4 + y1^2 - 2 r2^2 y1^2 + r2^4 y1^2 - 2 x1 x2 y1^2 + 2 r2^2 x1 x2 y1^2 - 2 r1^2 x2^2 y1^2 - 2 r2^2 x2^2 y1^2 + 2 x1^2 x2^2 y1^2 - 2 x1 x2^3 y1^2 + x2^4 y1^2 + x2^2 y1^4 - 2 y1 y2 + 2 r1^2 y1 y2 + 2 r2^2 y1 y2 - 2 r1^2 r2^2 y1 y2 - 2 x1^2 y1 y2 + 2 r2^2 x1^2 y1 y2 + 8 x1 x2 y1 y2 - 2 x2^2 y1 y2 + 2 r1^2 x2^2 y1 y2 - 2 x1^2 x2^2 y1 y2 - 2 y1^3 y2 + 2 r2^2 y1^3 y2 - 2 x2^2 y1^3 y2 + y2^2 - 2 r1^2 y2^2 + r1^4 y2^2 - 2 r1^2 x1^2 y2^2 - 2 r2^2 x1^2 y2^2 + 1^4 y2^2 - 2 x1 x2 y2^2 + 2 r1^2 x1 x2 y2^2 - 2 x1^3 x2 y2^2 + 2 x1^2 x2^2 y2^2 + 4 y1^2 y2^2 - 2 r1^2 y1^2 y2^2 - 2 r2^2 y1^2 y2^2 + 2 x1^2 y1^2 y2^2 - 2 x1 x2 y1^2 y2^2 + 2 x2^2 y1^2 y2^2 + y1^4 y2^2 - 2 y1 y2^3 + 2 r1^2 y1 y2^3 - 2 x1^2 y1 y2^3 - 2 y1^3 y2^3 + x1^2 y2^4 + y1^2 y2^4))))/(4 x1^2 - 8 r2 x1^2 + 4 r2^2 x1^2 - 8 x1 x2 + 8 r1 x1 x2 + 8 r2 x1 x2 - 8 r1 r2 x1 x2 + 4 x2^2 - 8 r1 x2^2 + 4 r1^2 x2^2 + 4 y1^2 - 8 r2 y1^2 + 4 r2^2 y1^2 - 4 x2^2 y1^2 - 8 y1 y2 + 8 r1 y1 y2 + 8 r2 y1 y2 - 8 r1 r2 y1 y2 + 8 x1 x2 y1 y2 + 4 y2^2 - 8 r1 y2^2 + 4 r1^2 y2^2 - 4 x1^2 y2^2) - 1/(2 x2 y1 - 2 x1 y2) 2 y2 (-x1 + r2^2 x1 + x2 - r1^2 x2 + x1^2 x2 - x1 x2^2 + x2 y1^2 - x1 y2^2 - (x1 (-4 x1^2 + 4 r2 x1^2 + 4 r2^2 x1^2 - 4 r2^3 x1^2 + 8 x1 x2 - 4 r1 x1 x2 - 4 r1^2 x1 x2 - 4 r2 x1 x2 + 4 r1^2 r2 x1 x2 - 4 r2^2 x1 x2 + 4 r1 r2^2 x1 x2 + 4 x1^3 x2 - 4 r2 x1^3 x2 - 4 x2^2 + 4 r1 x2^2 + 4 r1^2 x2^2 - 4 r1^3 x2^2 - 8 x1^2 x2^2 + 4 r1 x1^2 x2^2 + 4 r2 x1^2 x2^2 + 4 x1 x2^3 - 4 r1 x1 x2^3 - 4 y1^2 + 4 r2 y1^2 + 4 r2^2 y1^2 -4 r2^3 y1^2 + 4 x1 x2 y1^2 - 4 r2 x1 x2 y1^2 + 4 r1 x2^2 y1^2 + 4 r2 x2^2 y1^2 + 8 y1 y2 - 4 r1 y1 y2 - 4 r1^2 y1 y2 - 4 r2 y1 y2 + 4 r1^2 r2 y1 y2 - 4 r2^2 y1 y2 + 4 r1 r2^2 y1 y2 + 4 x1^2 y1 y2 - 4 r2 x1^2 y1 y2 - 16 x1 x2 y1 y2 + 4 x2^2 y1 y2 - 4 r1 x2^2 y1 y2 + 4 y1^3 y2 - 4 r2 y1^3 y2 - 4 y2^2 + 4 r1 y2^2 + 4 r1^2 y2^2 - 4 r1^3 y2^2 + 4 r1 x1^2 y2^2 + 4 r2 x1^2 y2^2 + 4 x1 x2 y2^2 - 4 r1 x1 x2 y2^2 - 8 y1^2 y2^2 + 4 r1 y1^2 y2^2 + 4 r2 y1^2 y2^2 + 4 y1 y2^3 - 4 r1 y1

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

　それもそうかもしれない。

　上図のように３円のとりうる配置は交わる交わらないと随分と複雑だからである。

　では、もっと縮退した形では内接円はどうなるであろうか？
例えば、三円の半径＝aは等しく、円の中心は正三角形をなすとする。
円の中心の左隅座標を（X1,Y）右隅座標を(X2,Y)とすると
頂点の円の中心座標は{(X1+X2)/2,3^.5/2(X2-X1)+Y}となる。
内接円の中心座標。

半径ｒ

さらに一般化してみる。三円の位置関係は正三角形のまま。
半径が左隅ａ，右隅ｂ，頂点ｃとするとどうなるかだ。

　その内接円の半径ｒはこうなる。

中心のｘ座標

中心のｙ座標

　う〜ん、これだけでも耐え難い複雑さだ。

　一般解得られずとも、やむなし！だが古典幾何学では解けるのだから、アナログ人間には解ける。 コンピュータ代数でも解いたといえば解いたことにはなる。
しかし、コンピュータ経由で「解」を得たとしても理解し難くデジタル人間がギブアップしても、やむなし！だ。

不思議おもしろ幾何学事典